a.
SISTEM KOORDINAT KUTUB
- Pengantar Sistem Koordinat Kutub
Sistem koordinat yang telah dikenal sejak bangku sekolah adalah
system koordinat Cartesius atau siku-siku. Sistem koordinat tersebut
diperkenalkan oleh dua orang Perancis, taitu Pierre Fermat dan Rene
Descartes. Dalam system koordnita ini tempat kedudukan sebarang titik P dinyatakan dalam pasangan terurut (x,
y).
nilai x selanjutnya dikenal dengan absis dan nilai y
selanjutnya dikenal dengan ordinat.
Gambar
Sistem Koordinat Kartesius
Pada bab ini akan dibahas mengenai Sistem Koordinat
Kutub. Dimulai dengan menggambar sebuah setengah garis tetap yang dinamakan
sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau
titik asal. Biasanya sumbu kutub ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu
sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah system koordinat
kartesius. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah
perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar
tunggal yang memancar dari 0. Selanjutnya, jika r adalah jari-jari
lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar garis dan sumbu kutub,
maka diperkenalkanlah (r, θ) sebagai sepasang
koordinat kutub dari titik P.
|
Sistem
Koordinat Kutub
- Hubungan koordinat kutub dengan koordinat kartesius
Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif sistem kordinat kartesius,
maka sebarang titik P pada system kordinat kutub (r, θ) dan system koordinat
kartesius (x, y) memiliki hubungan sebagai berikut.
|
Sebagaimana berlaku pada persamaan dasar trigonometri, maka
diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut:
Sehingga sebarang titik P (r,
θ) pada koordinat kutub dapat
dinyatakan menjadi 
sedemikian juga
sebaliknya.
sedemikian juga
sebaliknya.
Contoh 1. Tentukan koordinat kartesius dari titik yang koordinat
kutubnya (4, π/6) dan tentukan
koordinat kutub suatu titik dengan kordinat kartesiusnya (-3, 
).
).
Jawab.
(r, θ) = (4, π/6) maka x = 
= 4 . cos π/6
= 4 . 
= 2
Maka y =
= 4 . sin
π/6
= 4. ½
= 2
Sehingga (r, θ) = (4, π/6) = (2, 2)
, 2)
Jika (x, y) = (-3, ) maka 
) maka
=
=
θ = 
= 
= 5π/6
Sehingga (x, y) = (-3, ) = ( 2, 5π/6)
) = ( 2, 5π/6)- Persamaan Kutub
Berikut disajikan contoh persamaan kutub r = 8 sin θ dan 
Contoh 2. Gambarkan grafik persamaan kutub r = 8 sin θ
Jawab.
θ
|
|
||
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
5
π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6
|
0
4
6,93
8
6,93
4
0
-4
-6,93
-8
-6,93
-4
|
Contoh 3. Gambarkan grafik persamaan kutub
Jawab. (sebagai latihan pembaca)
b.
GRAFIK KOORDINAT KUTUB
Pada bagian ini akan dibahas grafik-grafik persamaan
kutub yang lebih rumit lagi, antara lain kardoid, limason, mawar, dan spiral. Meskipun bentuk
grafiknya lebih rumit, namun jika penyajian persamaan kutubnya tetaplah
sederhana.
Kardioid dan limason.
Perhatikan bentuk
umum 
dan 
dengan a, dan b suatu konstanta. Grafiknya yang memenuhi persamaan tersebut
dinamakan limason,
namun untuk kasus a = b, grafiknya dinamakan kardioid.
dan dengan a, dan b suatu konstanta. Grafiknya yang memenuhi persamaan tersebut
dinamakan limason,
namun untuk kasus a = b, grafiknya dinamakan kardioid.
Contoh 4. Contoh Kardioid
Contoh 5. Contoh Limason
Contoh 6. Contoh grafik limason
dan kardioid
Mawar
Grafik dengan persamaan kutub berbentuk 
dan 
adalah kurva-kurva
yang berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daun mawar ditentukan
dengan n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap.
dan adalah kurva-kurva
yang berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daun mawar ditentukan
dengan n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap.
Contoh 7. Contoh Mawar
Mawar dengan daun
ganjil Mawar dengan daun genap
Spiral
Grafik persamaan 
disebut spiral
Archimedes, grafik persamaan 
dinamakan spiral logaritma.
disebut spiral
Archimedes, grafik persamaan dinamakan spiral logaritma.
Contoh 8. Contoh Spiral
spiral Archimedes
spiral logaritma Spiral Fermat Spiral
Theodorus
c.
KALKULUS DENGAN KOORDINAT KUTUB
Tidak ada komentar:
Posting Komentar