Selasa, 17 Januari 2012

KOORDINAT KUTUB


KOORDINAT KUTUB

a.       SISTEM KOORDINAT KUTUB
    1. Pengantar Sistem Koordinat Kutub

Sistem koordinat yang telah dikenal sejak bangku sekolah adalah system koordinat Cartesius atau siku-siku. Sistem koordinat tersebut diperkenalkan oleh dua orang Perancis, taitu Pierre Fermat dan Rene Descartes. Dalam system koordnita ini tempat kedudukan sebarang titik P dinyatakan dalam pasangan terurut (x, y). nilai x selanjutnya dikenal dengan absis dan nilai y selanjutnya dikenal dengan ordinat.






      Gambar Sistem Koordinat Kartesius

Pada bab ini akan dibahas mengenai Sistem Koordinat Kutub. Dimulai dengan menggambar sebuah setengah garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah system koordinat kartesius. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Selanjutnya, jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar garis dan sumbu kutub, maka diperkenalkanlah (r, θ) sebagai sepasang koordinat kutub dari titik P.

0
 
          Sistem Koordinat Kutub

    1. Hubungan koordinat kutub dengan koordinat kartesius
Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif sistem kordinat kartesius, maka sebarang titik P pada system kordinat kutub (r, θ) dan system koordinat kartesius (x, y) memiliki hubungan sebagai berikut.
r
 
Sebagaimana berlaku pada persamaan dasar trigonometri, maka diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut:
                                              
                  
Sehingga sebarang titik P (r, θ) pada koordinat kutub dapat dinyatakan menjadi  sedemikian juga sebaliknya.

Contoh 1. Tentukan koordinat kartesius dari titik yang koordinat kutubnya        (4, π/6) dan tentukan koordinat kutub suatu titik dengan kordinat kartesiusnya       (-3, ).
Jawab.
(r, θ) = (4, π/6) maka x =
  = 4 . cos π/6
  = 4 .
  = 2
                         Maka y
                                      = 4 . sin  π/6
                                      = 4. ½
                                      = 2
Sehingga (r, θ) = (4, π/6) = (2, 2)

Jika (x, y) = (-3, ) maka
                                                =
                                                =
                                   
θ =
   =
   = 5π/6
Sehingga (x, y) = (-3, ) = ( 2, 5π/6)

    1. Persamaan Kutub
Berikut disajikan contoh persamaan kutub r = 8 sin θ  dan
Contoh 2. Gambarkan grafik persamaan kutub r = 8 sin θ
Jawab.  
θ
 
r
0
π/6
π/3
π/2
2π/3
5 π/6
π
7π/6
4π/3
3π/2
5π/3
11π/6

0
4
6,93
8
6,93
4
0
-4
-6,93
-8
-6,93
-4
                                               

Contoh 3. Gambarkan grafik persamaan kutub
Jawab. (sebagai latihan pembaca)

b.      GRAFIK KOORDINAT KUTUB
Pada bagian ini akan dibahas grafik-grafik persamaan kutub yang lebih rumit lagi, antara lain kardoid, limason, mawar, dan spiral. Meskipun bentuk grafiknya lebih rumit, namun jika penyajian persamaan kutubnya tetaplah sederhana.
Kardioid dan limason.
Perhatikan  bentuk umum  dan  dengan a, dan b suatu konstanta. Grafiknya yang memenuhi persamaan tersebut dinamakan limason, namun untuk kasus a = b, grafiknya dinamakan kardioid.


Contoh 4. Contoh Kardioid
                                

Contoh 5. Contoh Limason
                    

Contoh 6. Contoh grafik limason dan kardioid
File:Limacons.svg


Mawar
Grafik dengan persamaan kutub berbentuk  dan  adalah kurva-kurva yang berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daun mawar ditentukan dengan n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap.
Contoh 7.  Contoh Mawar
        
        Mawar dengan daun ganjil                                 Mawar dengan daun genap

Spiral
Grafik persamaan  disebut spiral Archimedes, grafik persamaan dinamakan spiral logaritma.
Contoh 8. Contoh Spiral
 
                               spiral Archimedes
                       
             spiral logaritma           Spiral Fermat               Spiral Theodorus


c.       KALKULUS DENGAN KOORDINAT KUTUB

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar