matematika uasyik: Integral

Integral

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah $\int\,$ Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Mencari nilai integral

Substitusi

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{ln x}{x}\,dx\,$

$t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt$

$= \frac {1}{2} t^2 + C$

$= \frac {1}{2} ln^2x + C$

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x \,dx\,$

$f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$= x ln x - \int 1\,dx\,$

$= x ln x - x + C\,$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan
$\sqrt{a^2-b^2x^2}\,$	$x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$\sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$\!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$\sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,$

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,$

$= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

Cari nilai dari: $\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$ dengan menggunakan substitusi

$t = sin A, dt = cos A\,dA\,$

$\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \int \frac{dt}{t^2}\,$

$= \int t^{-2}\,dt\,$

$= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,$

Masukkan nilai tersebut:

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

Nilai sin A adalah $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

$= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,$

Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,$

$= \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\,$

$= \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\,$

$=\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\,$

Akan diperoleh dua persamaan yaitu $A+B = 0\,$ dan $A-B = -\frac{1}{2}$

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil $A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,$

$\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,$

$= \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,$

$= \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,$

Rumus integrasi dasar

Bilangan natural

$\int e^u du= e^u + C\,$

Logaritma

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

Trigonometri

$\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,$

$\int\cos x\,dx = \sin x + C\,$

$\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,$

$\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,$

$\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,$

$\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,$

$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,$

$\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,$

$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,$

$\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,$

Selasa, 17 Januari 2012

Integral

Tidak ada komentar:

Posting Komentar