integral lipat dua dan tiga

1.      Integral lipat dua dalam koordinator polar

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh sinar-sinar q = a, q = b, a < b dan oleh lingkaran r = a, r = b, a < b. Ambillah P adalah suatu partisi daerah ini yang diperoleh dengan menggambar garis-garis sinar melalui kutub dan lingkaran-lingkaran yang berpusat di kutub. Perhatikan gambar 4.8 berikut ini.

Gambar 4.8

Di sini daerah R = {(r, q); a < r < b, a < q < b} dengan a > 0 dan b - a < 2 p. Dengan mempartisi daerah R ini diperoleh suatu jaring daerah bagian yang dinamakan persegi panjang kurva. Norm |P| dari partisi ini adalah panjang diagonal terpanjang dari persegi panjang kurva itu.

Misalkan banyaknya daerah bagian ini adalah n dan misalkan DA_k adalah luas persegi panjang kurva ke-k. Karena luas daerah ke-k adala selisih luas dari dua sektor lingkaran maka :

DA_k     = ½ r_k² (q_k - q_k-1) – ½ r_k² (q_k - q_k-1)

            = ½ (r_k + r_k-1) (r_k – r_k-1) (q_k - q_k-1)

            =  Dr_k  Dq_k

Sesuai dengan konsep definisi 4.1, maka

Selanjutnya misalkan bahwa daerah R dibatasi oleh kurva r = f₁ (q) dan r = f₂ (q) dimana f₁ (q) dan f₂ (q) adalah fungsi-fungsi licin dan oleh sinar-sinar q = a, q = b, a < b maka

Contoh 4.5

Soal pada contoh 4.4 akan dihitung dengan menggunakan koordinat polar, yaitu

Volume           =

                        =

                              =

                              =

                        = 16 π 

Luas Permukaan

Integral lipat dua juga dapat diterapkan untuk menghitung luas dari bagian permukaan z = f (x, y) yang berada di atas suatu daerah tertutup R di bidang xy. Perhatikan gambar 4.9 berikut ini :

Gambar 4.9

Misalkan f (x, y) dan turunan parsial pertamanya adalah kontinu pada R dan misalkan f (x, y) > 0 pada R. Misalkan P adalah suatu partisi dari R menjadi n daerah bagian berbentuk persegi panjang yang berukuran Dx_k dan Dy_k. Misalkan (x_k, y_k) adalah titik sembarang dalam persegi panjang ke-k dan di titik Q (x_k, y_k, z_k) pada permukaan tinjaulah bidang singgung pada permukaan itu. Kemudian diproyeksikan secara vertikal persegi panjang ke-k itu pada bidang singgung itu, dan misalkan DS_k adalah luas proyeksi itu.

Bagian DS_k merupakan nilai hampiran untuk luas bagian permukaan yang terletak di atas persegi panjang ke-k. Karena ada n bagian seperti itu maka :

merupakan nilai hampiran S sebagai luas bagian permukaan f (x, y) yang terletak di atas R. Jadi S didefinisikan sebagai :

S =

Kita akan menghitung DS_k sebagai ukuran luas suatu jajaran genjang. Secara sederhana, ambil titik Q (x_k, y_k, z_k) sebagai titik singgung. Misalkan a dan b adalah dua vektor yang mempunyai representasi berupa segmen garis berarah dengan titik-titik awal di Q dan membentuk dua sisi yang berdampingan dari suatu jajaran genjang yang luasnya DS_k. Perhatikan gambar 4.10 berikut ini :

Gambar 4.10

Di sini vektor-vektor :

a = [Dx_k, 0, f (x_k, y_k) – f(x_k – y_k)]

b = [0, Dy_k, f (x_k, y_k + Dy_k) – f(x_k – y_k)]

Dengan mengingat bahwa

maka

a =

b =

sehingga

DS_k = luas jajaran genjang itu

= | a x b |

karena

| a x b |² = (a x b) . (a x b)

maka

DS_k =

dengan demikian

S =

S =

Dengan cara yang serupa

§  bila f (x, z) dan turunan parsial pertamanya kontinu pada daerah R di bidang xz maka

S =

§  bila f (y, z) dan turunan parsial pertamanya kontinu pada daerah R di  bidang yz maka

Contoh 4.6

Hitunglah luas permukaan yang dipotong dari silinder x² + z² = 16 oleh bidang x = 0, x = 2, y = 0 dan y = 3 di oktan pertama.

Penyelesaian :

Perhatikan gambar 4.11 berikut ini

Gambar 4.11

Pada gambar 4.11 itu tampak bahwa daerah R berbentuk empat persegi panjang di bidang xy dan dibatasi oleh garis x = 0, x = 2 dan y = 0, y = 3. Bagian permukaan silinder yang dimaksud adalah diberikan oleh persamaan :

z =

Dari sini,

f (x, y) =

Oleh karena itu

Jadi

S   =

     =

     = 2p

Titik Pusat Massa dan Momen Inersia

Kita telah mengetahui bahwa titik pusat massa bidang datar (lempeng tipis, lamina, keping) homogen dapat ditentukan dengan menerapkan integral tunggal. Yang menjadi pertanyaan sekarang adalah bagaimana menentukan pusat massa bidang datar non homogen. Integral lipat dua dapat digunakan untuk menghitung massa, momen terhadap sumbu-sumbu koordinat dan titik pusat massa serta momen inersia bidang datar datar heterogen. Bidang datar heterogen adalah bidang datar yang mempunyai rapat massa di setiap titik pada bidang datar itu bergantung pada letak itu.

Diketahui satu keping datar berbentuk daerah R di dalam bidang xy

R = {(x, y) : a < x < b, a (x) < y < b (x)}

atau

R = {(x, y) : c < y < d, g (y) < x < d (y)}

dengan rapat massa r (x, y) kontinu di setiap (x, y) Î R; a, b kontinu pada [a, b], dan g, d kontinu pada [c, d]. Selanjutnya kita membahas penerapan integral lipat dua pada masalah ini. Perhatikan gambar 4.12 berikut ini :

Gambar 4.12

Buatlah jaring D untuk keping R yang terdiri dari n persegi panjang. Semua komponennya beririsan dengan R. Komponen jaring ke-k adalah DA_k dan ukuran jaringnya

||A|| = maks {diagonal DA_k = 1, 2, 3, …, n}

Kemudian pilihlah untuk setiap k titik  pada komponen DA_k. Keping R yang dipandang sebagai sistem n partikel yang terletak di , k = 1, 2, 3, … , n mempunyai rapat massa r , r kontinu pada R. Karena massa partikel ke-k adalah :

Dm_k = r DA_k, k = 1, 2, 3, … n

maka massa sistem n partikelnya adalah

Dari sini, masa keping R adalah

m =

Momen massa keping R terhadap sumbu-x adalah

M_x =

Momen massa keping R terhadap sumbu-y adalah

M_y =

Jadi titik pusat massa keping R adalah  dengan

Momen suatu partikel terhadap titik atau garis disebut momen pertama, yaitu hasil kali massa dengan jaraknya. Jika jaraknya diganti dengan kuadrat jaraknya maka momen partikel terhadap titik atau garis disebut momen kedua atau momen inersia. Jadi momen inersia adalah hasil kali massa dengan kuadrat jaraknya. Jika suatu partikel bermassa m dan jaraknya r satuan dari garis g maka momen inersianya didefinisikan sebagai

I_g = m r²

Selanjutnya untuk keping datar R tersebut, momen inersia keping R didefinisikan sebagai berikut :

Momen inersia keping R terhadap sumbu-x adalah

I_x =

Momen inersia keping R terhadap sumbu-y adalah

I_x =

Momen inersia keping R terhadap titik (0, 0) adalah

I₀ = I_x + I_y = I_x =

Contoh 4.7

Jika rapat massa di setiap titik pada keping

R = {(x, y) ; 0 < x < 3, x < y < 3x}

adalah

r(x, y) = xy + 2

a.       Tentukan titik pusat massanya

b.      Hitunglah momen inersianya terhadap sumbu –x, sumbu-y dan titik (0, 0)

Penyelesaian :

a.       Perhatikan gambar 4.13 berikut ini :

Gambar 4.13

Massa keping R adalah

m   =

      =

Momen massa keping R terhadap sumbu-x adalah

M_x  =

      =

Momen massa keping R terhadap sumbu-y adalah

M_y  =

      =

Jadi titik pusat massa  dengan

b.      Momen inersia terhadap sumbu-x adalah

I_x    =

      =

Momen inersia terhadap sumbu-y adalah

I_y    =

      =

Momen inersia terhadap titik (0, 0) adalah

      = 3348

2.      Integral Lipat Tiga

Pertama – tama f didefinisikan pada kotak segiempat

Langkah pertama adalah membagi B menjadi kotak – kotak bagian.

Kita lakukan dengan membagi selang [a,b] menjadi l selang-bagian            berlebar sama     , membagi [c,d] menjadi m selang-bagian berlebar sama dan membagi [r,s] mejadi n selang-bagian berlebar sama   

Bidang – bidang yang melalui titik ujung selangbagian – selangbagian ini yang sejajar terhadap bidang – bidang koordinat membagi kotak B menjadi lmn kotak-bagian

yang diperlihatkan dalam Gambar 1.

Masing – masing kotak bagian mempunyai volume    

            

Kemudian, kita bentuk jumlah Riemann rangkap-tiga

 

dengan titik sampel                                           terletak pada

Berdasarkan analogi dengan definisi integral lipat-dua, kita definisikan integral lipat-tiga sebagai limit dari jumlah Riemann rangkap-tiga 

Definisi Integral lipat-tiga dari f pada kotak B adalah

 

jika limit ini ada.

Integral lipat-tiga selalu ada jika f kontinu.

Kita dapat memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi jika kita memilih titik sampel ini sebagai titik                               kita peroleh ekspresi yang lebih sederhana untuk integral lipat-tiga

  

Sama seperti untuk integral lipat-dua, metode praktis untuk penghitungan integral lipat-tiga adalah menyatakannya sebagai integral berulang

      Teorema Fubini untuk Integral Lipat-Tiga. Jika f kontinu

Pada kotak  B=[a,b]x[c,d]x[r,s], maka

Contoh 1:

Hitunglah integral lipat-tiga                          dengan B adalah kotak segiempat yang diberikan oleh

 

Penyelesaian :

Kita dapat menggunakan salah satu dari enam urutan pengintegralan yang mungkin

Jika kita memilih untuk mengintegralkan  terhadap x, kemudian y, dan kemudian z, kita peroleh:

Sekarang kita definisikan integral lipat-tiga pada daerah umum terbatas E dalam ruang dimensi tiga (benda pejal) dengan prosedur yang hampir sama seperti yang kita gunakan untuk integral lipat-dua.

Kita lingkupi E dalam sebuah kotak B yang berjenis sama seperti pada Persamaan 1.

Kemudian kita definisikan fungsi F agar fungsi ini sesuai dengan f pada E tetapi bernilai 0 untuk titik – titik pada B yang di luar E.

Menurut definisi,

Integral ini ada jika f kontinu dan perbatasan E adalah mulus.

Integral lipat-tiga mempunyai sifat yang pada dasarnya sama seperti integral lipat-dua.

Kita batasi pada fungsi kontinu f dan pada jenis daerah sederhana yang tertentu.

Daerah pejal E dikatakan sebagai berjenis 1, jika daerah ini terletak di antara grafik dua fungsi kontinu x dan y, dengan kata lain

dengan D adalah proyeksi E pada bidang-xy seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.

Perhatikan bahwa perbatasan atas benda pejal E adalah permukaan dengan persamaan

sedangkan perbatasan bawah adalah permukaan 

Jika E adalah daerah jenis I yang diberikan oleh Persamaan 5, maka

 

Khususnya, jika proyeksi D dari E pada bidang-xy adalah daerah bidang jenis I (seperti dalam Gambar 3), maka

 

dan Persamaan 6 menjadi

 

Sebaliknya, jika D adalah daerah bidang jenis II (seperti dalam gambar 4), maka

dan Persamaan 6 menjadi

Penerapan Integral Lipat-Tiga

Ingat bahwa jika f(x)≥0 maka integral tunggal

                  menyatakan luas di bawah kurva

mulai dari a ke b, dan jika f(x,y)≥0 maka integral lipat-dua                               menyatakan volume di bawah permukaan                    dan di atas D.

Integral lipat-tiga                                                         dapat ditafsirkan dalam cara yang berbeda  dalam situasi fisis yang berlainan, tergantung pada penafsiran fisis dari x, y, z, dan f(x,y,z).

Pada kasus khusus dimana                         untuk semua titik dalam E. Maka integral lipat-tiga menyatakan volume E :

DAFTAR PUSTAKA

J. Purcell, Edwin dan Dale Varberg. 2002. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid II. Jakarta : Erlangga.

J. Purcell dkk. 2002. Kalkulus Jilid II. Jakarta : Erlangga.

Kartono, Solikhin. 2004. Kalkulus Peubah Banyak. Semarang.