Induksi Matematika

Induksi Matematika
Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah
pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian dengan
cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:
1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.
2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n,
maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.
Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli
pertama, yaitu 1+2+:::+n, adalah sama dengan n(n+1)
2 . Untuk membuktikan
bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah-langkah
yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas
sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah 1(1+1)
2 = 1. Jadi
pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1.
2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka
pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1. Hal ini bisa dilakukan
dengan cara:
{ Mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k,
yaitu
1 + 2 + ::: + k =
k(k + 1)
2
{ Menambahkan k + 1 pada kedua ruas, yaitu
1 + 2 + ::: + k + (k + 1) =
k(k + 1)
2
+ (k + 1)
{ Dengan menggunakan manipulasi aljabar, diperoleh
k(k + 1)
2
+ (k + 1) =
k(k + 1)
2
+
2(k + 1)
2
=
(k + 1)(k + 2)
2
=
(k + 1)((k + 1) + 1)
2
1
{ Dengan demikian
1 + 2 + ::: + k + (k + 1) =
(k + 1)((k + 1) + 1)
2
{ Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
3. Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut
berlaku untuk setiap bilangan asli n.
Secara formal Induksi Matematika ini bisa dide nisikan sebagai berikut.
De nisi 1.1
Misalkan untuk setiap bilangan asli n kita mempunyai pernyataan P(n) yang
bisa benar atau salah. Misalkan
1. P(1) benar.
2. Jika P(n) benar, maka P(n + 1) benar.
Sehingga P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Kubus dan Balok SD

Tentang Kubus dan Balok

Semua tentang KUBUS dan BALOK

Unsur – unsur pada Kubus :
1. kubus dan balok memiliki bidang yang membatai bagian dalam dan bagian luar yang
disebut bidang sisi yang biasanya disebut Bidang.

2. bidang – bidang pada suatu kubus maupun balok berpotongan atau bertemu pada suatu
garis yang disebut rusuk

Bidang – bidang suatu balok berbentuk persegi panjang.
Bidang – bidang suatu kubus berbentuk persegi.

3. Diagonal bidang
Pada kubus ABCD.EFGH, garis yang menghubungan dua buah titik sudut yang berhadapan
dalam satu bidang disebut Diagonal bidang
Contohnya : Diagonal AF, BE, AC, BD, EG, HF, BG, CF, AH, DE, DG, CH

4. Diagonal Ruang
Pada kubus ABCD.EFGH, garis BH, CE, DF, dan AG disebut dengan diagonal ruang

5. Bidang Diagonal
Bidang diagonal adalah bidang yang dibentuk oleh dua buah diagonal bidang yang
berhadapan dan sejajar serta dua rusuk yang berhadapan dan sejajar.
Bidang diagonal berbentuk persegi panjang.
Pada kubus ABCD.EFGH, yang merupakan bidang diagonal adalah : BDFH, BCEH, ADFG,
ACEG, dll

Jika panjang rusuk suatu kubus adalah s, maka
1. Jumlah panjang rusuk kubus = 12 s
2. Luas permukaan kubus = 6 x s pangkat dua
3. Volume = s x s x s
4. Panjang diagonal bidang = s x akar 2
5. Panjang diagonal ruang = s x akar 3
6. Luas bidang diagonal = s x s x akar 2

Jika balok mempunyai panjang = p, lebar = l dan tinggi = t, maka :
1. Jumlah panjang rusuk balok = 4p + 4l + 4t
2. Luas permukaan balok = 2(pl + pt + lt)
3. Volume = p x l x t
4. Panjang diagonal bidang = – akar p pangkat 2 + l pangkat 2
- akar p pangkat 2 + t pangkat 2
- akar l pangkat 2 + t pangkat 2
5. panjang diagonal ruang = akar p pangkat 2 + l pangkat 2 + t pangkat 2
6. Luas bidang diagonal = panjang diagonal bidang x (p atau l atau t)

Menggambar Kubus dan Balok :
Untuk mengambar kubus ABCD.EFGH, ada hal – hal yang perlu diperhatikan sbb:
1. Bidang frontal
bidang bagian depan yaitu ABEF dan bidang bagian belakang yaitu CDGH digambar
berbentuk persegi, karena kedua bidang tersebut letaknya sejajar dengan bidang gambar
yang disebut juga Bidang Frontal

2. Rusuk – rusuk yang letaknya mengarah dari depan ke belakang yaitu AD, BC, FG, dan EH
digambar lebih pendek dari rusuk – rusuk lainnya, walaupun sesungguhnya panjang rusuk -
rusuk itu adalah sama. Rusuk AD, BC, FG, dan EH teggak lurus dengan bidang gambar
(frontal) yang disebut Rusuk Ortogonal

3. Rusuk – rusuk yang terhalang pandangan oleh bidang lain, yaitu AD, DC, dan DH digambar
sebagai garis putus – putus.

Langkah – langkah :
1. Menggambar bidang kubus bagian depan yang berbentuk persegi, yaitu persegi ABEF
2. Menggambar bidang kubus bagian belakang yang berbentuk persegi yaitu persegi DCGH
3. Menggambar rusuk – rusuk yang mengarah dari depan ke belakang yaitu AD, BC, FG, dan EH

FPB

Himpunan

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)

KOORDINAT KUTUB

soal aneka ragam SMP

Kerjakan soal-soal berikut!
1. Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide (film negatif) berturut-turut 36 mm dan 24 mm. Jika   lebar pada

laba untung

logika

Statistika

Limit Fungsi

Integral

BARISAN DAN DERET

persamaan linear

PRISMA

 Prisma

1. Pengertian Prisma

Coba kamu perhatikan benda-benda berikut ini.

BALOK

 Balok

Banyak sekali benda-benda di sekitarmu yang memiliki bentuk seperti balok. Misalnya, kotak korek api, dus air mineral, dus mie instan, batu bata, dan lain-lain. Mengapa benda-benda tersebut dikatakan berbentuk balok? Untuk menjawabnya, cobalah perhatikan dan pelajari uraian berikut.

KUBUS

Kubus

Pernahkah kamu melihat dadu? Dadu merupakan salah satu alat permainan yang berbentuk kubus. Apa yang dimaksud dengan kubus? Coba kamu pelajari uraian berikut ini.

1. Pengertian Kubus

Perhatikan Gambar 8.2 secara saksama. Gambar tersebut menunjukkan sebuah bangun ruang yang semua sisinya berbentuk persegi dan semua rusuknya sama panjang. Bangun ruang seperti itu dinamakan kubus. Gambar 8.2 menunjukkan sebuah kubus ABCD.EFGH yang memiliki unsur-unsur sebagai berikut.

Menyelesaikan soal cerita sederhana

    Contoh Soal :

1.      Dinding dalam kelas VI akan dicat dengan dua warna. Warna krem seluas 6.000 dm² dan warna biru seluas 30 m². Berapa luas dinding dalam kelas VI?

a.       90

soal tentang satuan berat

Soal-soal :

1.    Seorang pedagang membeli 10 kuintal mentega, 5 ton gula, dan 450 kg terigu. Berat seluruh barang pedagang itu … kg.

Menyelesaikan soal cerita sederhana yang berkaitan dengan penjumlahan atau pengurangan pada dua atau lebih satuan panjang yang berbeda.

Soal – soal :

1.        Panjang sebatang pipa pralon 6 m, kemudian disambung 22 dm. Panjang pipa sekarang ....